Luminous - Maths Zone

ငလျင်ကြီးကြောင့် ပြန်ဖြေခဲ့ရတဲ့ ကလေးများအတွက်
ရတဲ့အချိန်လေးမှာ ရသလောက် မောင်းတင်ခဲ့စဥ်က

Quadratic equation ax^2 + bx + c = 0 ကို
ဖြေရှင်းကြတဲ့အခါ

discriminant (b^2 - 4ac) ရဲ့ role

(1) b^2 - 4ac > 0 ဖြစ်လျှင် two real roots

(2) b^2 - 4ac = 0 ဖြစ်လျှင် only one real root

(3) b^2 - 4ac < 0 ဖြစ်လျှင် two complex solutions ဖြစ်ပြီး အဲ့ဒီ complex solutions နှစ်ခုက အပြန်အလှန် conjugates တွေ ဖြစ်ကြတယ်။

ဒါ့အပြင်

ax^2 + bx + c = 0 ကို ဖြေရှင်းလို့ ရလာတဲ့ roots တွေဟာ x = r1 နဲ့ x = r2 ဖြစ်တယ် ဆိုကြပါစို့။

ဒါဆိုရင်

ax^2 + bx + c = a (x-r1) (x-r2) ဖြစ်ပါလိမ့်မယ်။

သဘောက ax^2 + bx + c ကို factorize လုပ်တဲ့အခါ ရရှိလာတဲ့ factors တွေဟာ a(x-r1) နဲ့ (x-r2) ၊ သို့မဟုတ် (x-r1) နဲ့ a(x-r2) ဖြစ်ပါမယ်။

ဆိုတော့

ax^2 + bx + c = 0
a (x - r1) (x - r2) = 0
a (x^2 - x r2 - x r1 + r1 r2) = 0
a (x^2 - (r1 + r2)x + r1 r2)) = 0
ax^2 - a (r1 + r2) x + a r1 r2 = 0

နောက်ဆုံးရလာတဲ့ equation ကို

ax^2 + bx + c = 0 နဲ့ ပြန်ပြီး compare လုပ်ကြည့်တဲ့အခါ

-a (r1 + r2) = b နဲ့ a r1 r2 = c

ဒါကြောင့်

r1 + r2 = -b/a နဲ့ r1 r2 = c/a

ဆိုရရင်

roots တွေရဲ့

ပေါင်းလဒ် = - b/a
မြှောက်လဒ် = c/a ဖြစ်ပါတယ်။

ဒီအချက်ကို သိထားရင် အောက်ကလို မေးခွန်းတွေကို အလွယ်တကူ ဖြေရှင်းနိုင်သွားပါလိမ့်မယ်။

စကားပြောသော ပုံတစ်ပုံ သို့မဟုတ်

အနားပြိုင်စတုဂံ၏ area ရှာပုံတော်

Non-parallel side vectors နှစ်ခုကို cross product လုပ်ပြီး magnitude ရှာ၍ ရရှိလာသော parallelogram ၏ area သည်

side vector တစ်ခုနှင့် diagonal vector တစ်ခုတို့၏ cross product လုပ်ပြီး magnitudr ရှာ၍ ရရှိလာသော ရှာပြီး parallelogram ၏ area နှင့် အတူတူသာ ဖြစ်သည်။

Geometrical ရှုမြင်မှု။

Non-parallel side vectors နှစ်ခုနဲ့ define လုပ်ထားတဲ့ parallelogram နဲ့

side vector နှင့် diagonal vector တို့ဖြင့် define လုပ်ထားသော parallelogram တို့သည် base လည်းတူ၊ altitude (height) လည်း တူသည်။

Vectors များဖြင့် သက်သေပြခြင်း။

AB×BC = zero vector + (AB×BC)
= (AB×AB) + (AB×BC)
= AB × (AB+BC)
= AB×AC

ထို့ကြောင့်

Area of a parallelogram ABCD is

|AB×BC| = |AB×AC|

ထို့အပြင် diagonoal vectors နှစ်ခု၏ cross product ကိုရှာပြီး ထို cross product ၏ magnitude ကို တစ်ဝက် ဝက်လိုက်လျှင်လည်း parallelogram ABCD ၏ area ကို ရရှိစေသည်။

AC×BD
= (AB+BC) × (BC+CD)
= (AB×BC)+(AB×CD)+(BC×BC)+(BC×CD)
= (AB×BC) + (BC×CD)
= (AB×BC) - (CD×BC)
= (AB×BC) + (DC×BC)
= (AB×BC) + (AB×BC)
= 2 (AB×BC)

|AC×BD| = 2 |AB×BC|
|AB×BC| = (1/2) |AC×BD|

ထို့ကြောင့်

Area of the parallelogram ABCD is

|AB×BC| = (1/2) |AC×BD|

အောက်ကပုံကို ကြည့်ပါ။

ABCD ဟာ vectors AB နဲ့ BC တို့က define လုပ်ထားတဲ့ parallelogram ဖြစ်ပြီး

ACFD ကတော့ vectors AC နဲ့ AD တို့က define လုပ်ထားတဲ့ parallelogram ဖြစ်ပါတယ်။

ဒီနေရာမှာ ABCD နဲ့ ACFD တို့ဟာ အခြေတူ၊ အမြင့်တူ parallelogram တွေ ဖြစ်ကြလို့ သူတို့ရဲ့ area တွေလည်း တူကြပါတယ်။

နောက်

ABCD ရဲ့ diagonal vectors တွေဖြစ်ကြတဲ့ vectors AC နဲ့ BD တို့က define လုပ်ထားတဲ့ parallelogram ဟာ BHFD ဖြစ်ပါတယ်။

အဲ့ဒီ parallelogram BHFD ရဲ့ area ကို တစ်ဝက် ဝက်လိုက်ရင် parallelogram BIJD ရဲ့ area ကို ရရှိစေပြီး အဲ့ဒီ area ဟာ ABCD ၊ ACFD တို့ရဲ့ area နဲ့ အတူတူပဲ ဖြစ်ပါတယ်။