FSc Math Guru

Pairing scheme 11th

Pairing scheme

ایک سوال جب میں ایف ایس سی کا طالب علم تھا تو اکثر میرے ذہن میں اٹھتا تھا اور اس کا تسلی بخش جواب تو نہیں ملتا تھا۔
سوال بیان کرنے سے پہلے میں کچھ تمہیدی گفتگو کرنا چاہوں گا۔ہم نے میٹرک اور انٹرمیڈیٹ کے زمانہ طالب علمی میں سسٹم آف لینئیر ایکویشنز(system of linear equations) کو حل کیا۔وہ سسٹم کبھی دو اور کبھی تین مساواتوں پر مشتمل ہوا کرتا تھا۔ابھی ہم فقط اس سسٹم کی بات کرتے ہیں جو دو مساواتوں پر مشتمل ہوتا ہے۔اس سسٹم کے حل کے لیے ہمارے پاس کئی ایک طریقہ کار تھے۔مثلاً الجری طریقہ جس میں ایک متغیر(variable) کو ساقط (eliminate) کرکے دونوں متغیرات کی قیمتیں نکال لی جاتی تھیں۔دوسرا طریقہ جس میں متغیرات کے عددی سروں (کوآفیشینٹس) کا میٹرکس ترتیب دیا جاتا تھا پھر انورس میتھڈ یا کریمر رول لگا کر اس سسٹم کو حل کر لیا جاتا تھا۔اور اس سسٹم کا سلوشن تب وجود رکھتا تھا جب ان عددی سروں کے میٹرکس کا مقطع (determinent) غیر صفر ہو۔
میرے سوالات درج ذیل ہیں
1-مقطع یعنی ڈیٹرمینینٹ کیا ہوتا ہے
2-اس کا غیر صفر ہونا کیوں اس سسٹم کے سلوشن کے وجود کا فیصلہ کرتا ہے
3-اور سسٹم آف لینئیر ایکویشن کے سلوشن سے کیا مراد ہے
درج بالا تمام سوالات میری ذہنی تذبذب کو اک عمر تک فروغ دیتے رہے ہیں۔
ریاضی کے طالب علم جان لیجیے سسٹم آف لینئیر ایکویشنز سے مراد کوآرڈینیٹ پلین میں پڑیں دو سیدھی لائنز (سڑیٹ لائنز) ہیں اور ان کے سلوشن سے مراد ان کا پوائنٹ آف انٹرسیکشن ہے۔اور اگر کسی سسٹم کا سلوشن اگزسٹ نہیں کرتا تو اس کا مطلب یہ ہوا کہ انھوں نے ایک دوسرے کو قطع نہیں کیا یعنی کے وہ پیرالل ہیں۔ڈیٹرمینینٹ کا صفر ہونا یہ ظاہر کرتا ہے کہ ان لائنز کی سلوپ برابر ہے اور جن لائنز کی سلوپ برابر ہو تو وہ پیرالل ہوتی ہیں اور پیرالل لائنز کبھی ایک دوسرے کو قطع نہیں کرتی ہیں۔
لیکن مجھے جو جواب ملتا تھا وہ یہ کہ مقطع بٹے کے نیچے ہے اس لیے یہ صفر ہوگا تو جواب نہیں نکلیں گے۔اب آپ خود اندازہ کیجیے یہ کتنا مضحکہ خیز جواب ہے۔
اور رہی ڈیٹرمینینٹ کی بات تو وہ ایک فنکشن ہے جس کی ڈومین سیٹ آف میٹرکس اور رینج حقیقی اعداد یا غیر حقیقی اعداد ہیں۔
یاسر رشید

What is Calculus?
کیلکولس(calculus) کے نام سے ایک گروپ ہے جس میں ایک بھائی نے سوال کیا تھا کہ انٹیگریشن(integration) کے کیا استعمال ہیں۔میں نے سوچا اس سوال کا جواب ایک پوسٹ کی صورت میں دینا مناسب رہے گا۔ تاہم میں نے اپنی اِس پوسٹ میں اُس سوال سے بھی بنیادی سوال اٹھایا ہے کہ کیلکولس کیا ہے؟
اس سوال کے جواب کے لیے میں کچھ تمہیدی گفتگو کرنا چاہوں گا۔اردو کے ایک معروف شاعر مرزا اسد اللہ خاں غالب کا ایک شعر ہے
"یہ سبزہ و گل کہاں سے آئے ہیں
ابر کیا چیز ہے ؟ ہوا کیا ہے؟"
اس کائنات کے وجود(کائنات وجود میں کیسے آئی ) کے متعلق ہمیشہ انسان نے سوال اٹھایا ہے اور ہر تہذیب کے انسان نے اس سوال کا جواب دینے کی کوشش کی ہے تاہم کائنات کے وجود متعلق ایک سائنسی توجیح بیسویں صدی کے اوائل میں دی گئی جب ایک ماہرِ فلکیات نے یہ مشاہدہ کیا کہ کائنات مسلسل پھیل رہی ہے اور مستقبل میں فلکی اجسام کے درمیان فاصلے میں مزید اضافہ ہوتا رہے گا لیکن اگر ہم ایک منطقی اپروچ کی پیروی کرتے ہوئے ماضی میں چلے جائیں حتی کہ 13.8 ارب سال پہلے تو تمام فلکی اجسام ایک نقطے میں زم ہو جائیں گے یعنی آج سے 13.8 ارب سال پہلے تمام مادہ ایک نقطے پر مشتمل تھا جسے سپر میٹر super matter بھی کہتے ہیں۔پھر اچانک ایک دھماکہ ہوا جس کے نتیجہ میں تمام فلکی اجسام وجود میں آئے اگر ہم اس پر غور کریں تو یہ سب کچھ ایک "تبدیلی" کا نتیجہ تھا۔ان اربوں سیاروں میں ایک سیارہ ہماری زمین بھی تھی اس پر ایک خلیہ وجود میں آیا اور وہ تبدیلیوں اور ارتقائی مراحل سے گزرتا ہوا جانداروں کی مختلف اشکال اختیار کرتا گیا اور ان جانداروں میں ایک قسم ہم انسانوں کی بھی ہے۔اگر اس سائنسی توجیح کے تناظر میں ہم کائنات کے وجود اور زمین پر زندگی کے وجود کو دیکھیں تو یہ دونوں کچھ تغیرات(variations) کا نتیجہ ہیں۔اس کا مطلب یہ ہوا تغیر کا مطالعہ ایک غیر معمولی اہمیت کا حامل ہے۔
اور پھر جان لیجیئے کہ کیلکولس ریاضی کی وہ شاخ ہے جس میں تغیرات اور حرکات کا مطالعہ کیا جاتا ہے
Calculus is the mathematics of motion and change.
آگے مزید ہم کیلکولس کو دو بڑی شاخوں میں تقسیم کرتے ہیں
1-ڈفرینشل کیلکولس(differential calculus)
2-انٹگرل کیلکولس(integral calculus)
ڈفرینشل کیلکولس میں ان پرابلمز کو ڈیل(deal) کیا جاتا ہے جن میں تبدیلی کی شرح (rate of change) کو معلوم کرنا ہو۔
1-ڈیفرینشل کیلکولس ہمیں ایک کروّ (curve) پر ٹیجینٹ(tangent) لائن کی سلوپ معلوم کرنے کے قابل بناتی ہے
2-ڈفرینشل کیلکولس ہمیں حرکت کرتے ہوئے اجسام کی ولاسٹی اور ایکسلیریشن معلوم کرنے کے قابل بناتی ہے
3-اس کی مدد سے ہم وہ وقت معلوم کر سکتے ہیں جب سیارے قریب تھے یا دور ہوں گے
4-ڈفرینشل کیلکولس کی مدد سے ہم وہ فائرنگ اینگل معلوم کر سکتے ہیں جس سے ہم پروجیکٹائل کو دور دور سے پھینک سکیں۔
اور رہی انٹگرل کیلکولس کی بات تو یہ ان پرابلمز سے ڈیل کرتی ہے جن میں ہمیں وہ فنکشنز معلوم کرنے ہوتے ہیں جن میں تبدیلی آئی ہوتی ہے۔
1-انٹگرل کیلکولس کی مدد سے ہم ایک کروّ کے نیچے کتنا ایریا ہے معلوم کر سکتے ہیں
2-اس کی مدد سے ہم بے ترتیب اشکال کا حجم اور ماس معلوم کر سکتے ہیں
3-اس کی مدد سے ہم مختلف اقسام کے اجسام کا سنٹر آف ماس معلوم کر سکتے ہیں
4-اس کی مدد سے ہم کسی باڈی کی کائینیٹک انرجی معلوم کر سکتے اس کی مدد سے ہم کسی واقعہ کی probability معلوم کر سکتے ہیں
5۔اس کی مدد سے ہم ایک کروّ کی آرک لینتھ معلوم کر سکتے ہیں۔
اور یہ یاد رہے یہ وہ تمام استعمال ہیں جن سے ہم تب تک آشنا نہیں ہو سکتے جب تک ہمیں ریاضی کا ایک خاص حد تک علم نہ آجائے۔
یاسر رشید

راولپنڈی بورڈ فرسٹ ائیر رزلٹ 2023

2023 میں فرسٹ ائیر (گیارہویں جماعت) میں8754 سٹوڈنٹس نے میتھ (ریاضی) کا پیپر دیا جس میں سے صرف 3400 سٹوڈنٹس ہی پاس ہو سکے اور فیل ہونے والوں کی تعداد 5354 ہے جو کہ ٪61 بنتی ہے۔یعنی اگر 100 بچوں نے پیپر دیا ہے تو 61 بچے میتھ میں فیل ہوئے ہیں۔
اور اگر پارٹ 1 اور پارٹ 2 کو ملا کر بات کی جائے تو 2023 میں 25826 سٹوڈنٹس نے میتھ کا پیپر دیا جس میں 15758 سٹوڈنٹس پاس ہوئے اور 10068(دس ہزار اڑسٹھ) فیل ہوئے ہیں۔
ان نمبرز کو ایف ایس سی سٹوڈنٹس کے ساتھ شئیر کریں تاکہ ان کو اندازہ ہو کہ میتھ پاس کرنے کے لیے پڑھنا پڑتا ہے۔

السلام علیکم!
میرا نام یاسر ہے اور میں میتھ (ریاضی) کا لیکچرر ہوں۔میں آئیندہ کچھ پوسٹوں میں پنجاب بورڈز میں ریاضی کے نتائج کی تفصیل شئیر کروں گا تو آپ دیکھیں گے ریاضی میں فیل ہونے والے طلبا و طالبات کی تعداد تقریباً ٪50 ہے۔یعنی اگر 100 سٹوڈنٹس نے پیپر دیا ہے تو 50 فیل ہوئے ہیں۔میرے اس پیج کا مقصد پاس ہونے والے سٹوڈنٹس کی شرح کو بڑھانا ہے، فیل ہونے کی وجوہات بیان کرنا ہے،پاس ہونے کی تدابیر فراہم کرنا ہے،اور ریاضی کے پیپر کے متعلق اہم معلومات فراہم کرنا ہے۔لہذا اس پیج کو اپنے جاننے والوں میں جو ایف ایس سی کے سٹوڈنٹس ہیں ان کو شئیر کریں۔